在橢圓中,為橢圓上的一點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為,連接,

（1）若直線與的斜率均存在，問它們的斜率之積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由；

（2）若為的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)，求證：.

 

 

 

【答案】

解：（1） 設(shè)

則兩式相減得，

而……4分

(2)設(shè)的方程為代入，解得.

記，則，于是.

故直線的斜率為其方程為

代入橢圓方程得，

解得或，因此得，

于是直線的斜率為，因此

所以……10分.

 

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A(1，
1
2
)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)用《幾何畫板》研究橢圓的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1，在橢圓上任意畫一個(gè)點(diǎn)S，度量點(diǎn)S的坐標(biāo)（xs，ys），如圖1．
（1）拖動(dòng)點(diǎn)S，發(fā)現(xiàn)當(dāng)xs=
2
時(shí)，ys=0；當(dāng)xs=0時(shí)，ys=1，試求橢圓C1的方程；
（2）該同學(xué)知圓具有性質(zhì)：若E為圓O：x2+y2=r2（r＞0）的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率kAB與直線OE的斜率kOE的乘積kAB•kOE為定值．該同學(xué)在橢圓上構(gòu)造兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，并構(gòu)造直線AB，再構(gòu)造AB的中點(diǎn)E，經(jīng)觀察得：沿著橢圓C1，無論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)A、B，橢圓也具有此性質(zhì)．類比圓的這個(gè)性質(zhì)，請(qǐng)寫出橢圓C1的類似性質(zhì)，并加以證明；
（3）拖動(dòng)點(diǎn)A、B的過程中，如圖2發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B在C1在第一象限中的同一點(diǎn)時(shí)，直線AB剛好為C1的切線l，若l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，求三角形OCD面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•閘北區(qū)二模）如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)|PF1|取得最小值與最大值；
（Ⅱ）若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅲ）若直線l：y=kx+m與（Ⅱ）中所述橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且滿足AA2⊥BA2，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P在何位置時(shí)，最大，說明理由，并求出最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當(dāng)時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

 

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