Question

已知點(diǎn)M在橢圓D：=1（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，若圓M與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABM是邊長為的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓D上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l交x軸于點(diǎn)F（-1，0），交y軸于點(diǎn)Q，若，求直線l的斜率；
（Ⅲ）過點(diǎn)G（0，-2）作直線GK與橢圓N：左半部分交于H，K兩點(diǎn)，又過橢圓N的右焦點(diǎn)F₁做平行于HK的直線交橢圓N于R，S兩點(diǎn)，試判斷滿足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直線GK是否存在？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先確定M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，再利用a²-b²=c²，求出幾何量，即可求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設(shè)出過點(diǎn)P的直線l，利用，求得P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求直線l的斜率；
（Ⅲ）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)椤鰽BM是邊長為的正三角形
所以圓M的半徑，M到y(tǒng)軸的距離為，即橢圓的半焦距
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為…（2分）
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓D：上
所以
又a²-b²=c²=2
解得：a²=6，b²=4
所求橢圓D的方程為…（4分）
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線斜率為k
直線l的方程為y=k（x+1），則有Q（0，k）
設(shè)P（x₁，y₁），由于P、Q、F三點(diǎn)共線，且
根據(jù)題意得（x₁，y₁-k）=2（-x₁-1，-y₁），解得…（6分）
又P在橢圓D上，故
解得
綜上，直線l的斜率為．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：橢圓N的方程為…①，
由于F₁（1，0），設(shè)直線GK的方程為y=kx-2（k＜0）…②，
則直線RS的方程為y=k（x-1）（k＜0）…③
設(shè)H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）
聯(lián)立①②消元得：（1+2k²）x²-8kx+6=0，所以
所以…（10分）
設(shè)R（x₅，y₅），S（x₆，y₆）
聯(lián)立①③消元得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
所以，…（13分）
由，化簡得：k²+1=0，顯然無解，
所以滿足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直線GK不存在．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．