Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=5-log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）直接利用a₃+a₅=5，以及a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2即可求出a₃和a₅，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先把（1）的結(jié)論代入整理出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，再代入等差數(shù)列的求和公式即可；
（3）先利用（2）的結(jié)論知

1

S

n=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），再代入求和即可．

解答：解：（1）a_n＞0，∴a₃+a₅=5，又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，∴a₃a₅=4，而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q=

1

2

，a₁=16，
∴a_n=16×(

1

2

)n-1=2^5-n；
（2）b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴b_n+1-b_n=1，
∴{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
∴S_n=

n(n+1)

2

；
（3）由（2）知

1

S

n=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）++（

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)列求和的裂項(xiàng)法，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，屬于中檔題．