Question

【題目】下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在[﹣1，1]上單調(diào)遞增是（ ）
A.f（x）=|sinx|
B.f（x）=ln
C.f（x）= （ex﹣e﹣x）
D.f（x）=ln（ ﹣x）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)： 對(duì)于A、f（x）=|sinx|，有f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），為偶函數(shù)，不符合題意，
對(duì)于B、f（x）=ln ，有 ＞0，解可得﹣2＜x＜2，即其定義域?yàn)椋ī?，2），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由f（﹣x）=ln =﹣f（x），為奇函數(shù)，
令t= =﹣1+ ，在區(qū)間（﹣1，1）上為減函數(shù)，而y=lnt為增函數(shù)，
而f（x）=ln 在區(qū)間（﹣1，1）上為減函數(shù)，不符合題意，
對(duì)于C、f（x）= （ex﹣e﹣x），其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由f（﹣x）= （e﹣x﹣ex）=﹣f（x），為奇函數(shù)，
函數(shù)y=ex為增函數(shù)，而函數(shù)y=e﹣x為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）= （ex﹣e﹣x）在區(qū)間（﹣1，1）上為增函數(shù)，符合題意，
對(duì)于D、f（x）=ln（ ﹣x），有 ﹣x＞0，解可得x∈R，其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由f（﹣x）=﹣f（x），為奇函數(shù)；
令t= ﹣x= ，在區(qū)間（﹣1，1）為減函數(shù)，而y=lnt為增函數(shù)，
故f（x）=ln（ ﹣x）在區(qū)間（﹣1，1）上為減函數(shù)，不符合題意，
故選：C．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱才能正確解答此題．