(12分)在平面直角坐標(biāo)系O中,直線與拋物線=2相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求證:命題“如果直線過點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題;
(Ⅱ)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.
(1)見解析
(2)逆命題是:“設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).”該命題是假命題.
解析試題分析:(I)直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x后利用韋達(dá)定理判斷=x1x2+y1y2=的值是否為3,從而確定此命題是否為真命題.
(II)根據(jù)四種命題之間的關(guān)系寫出該命題的逆命題,然后再利用直線與拋物線的位置關(guān)系知識來判斷其真假.
證明:(1)解法一:設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2).
當(dāng)直線l的鈄率不存在時(shí),直線l的方程為x=3,此時(shí),直線l與拋物線相交于
A(3,)、B(3,-),∴=3.
當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-3),其中k≠0.
得ky2-2y-6k=0,則y1y2=-6. 又∵x1=y12, x2=y22,
∴=x1x2+y1y2=="3." 綜上所述, 命題“......”是真命題.
解法二:設(shè)直線l的方程為my=x-3與y2="2x" 聯(lián)立得到y(tǒng)2-2my-6=0 =x1x2+y1y2
=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9=3
(2)逆命題是:“設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).”該命題是假命題. 例如:取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3,
直線AB的方程為y= (x+1),而T(3,0)不在直線AB上.
考點(diǎn):四種命題之間的關(guān)系,直線與拋物線的位置關(guān)系,向量的數(shù)量積.
點(diǎn)評:本小題本質(zhì)是以四種命題的關(guān)系為知識載體主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系.由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)滿足,可得y1y2=-6.或y1y2=2,如果y1y2=-6,可證得直線AB過點(diǎn)(3,0);如果y1y2="2," 可證得直線AB過點(diǎn)(-1,0),而不過點(diǎn)(3,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分) 已知均在橢圓上,直線分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)當(dāng)時(shí),有
(1)求橢圓的方程
(2)設(shè)是橢圓上的任一點(diǎn),為圓的任一條直徑,求的最大值
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已知橢圓C:的左,右焦點(diǎn)分別為,過 的直線L與橢圓C相交 A,B于兩點(diǎn),且直線L的傾斜角為,點(diǎn)到直線L的距離為 ,
(1) 求橢圓C的焦距.(2)如果求橢圓C的方程.(12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,左右焦點(diǎn)分別為,
(1)若上一點(diǎn)滿足,求的面積;
(2)直線交于點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求直線的方程。
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(本小題12分)橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線過圓的圓心,交橢圓于兩點(diǎn),且關(guān)于點(diǎn)對稱,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
雙曲線的離心率為2,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為,其中A,B.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若B1是雙曲線虛軸在軸正半軸上的端點(diǎn),過B1作直線與雙曲線交于兩點(diǎn),求時(shí),直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知動點(diǎn)與平面上兩定點(diǎn)、連線的斜率的積為定
值.
(1)求動點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè)直線與曲線交于、兩點(diǎn),當(dāng)||=時(shí),求直線的方程.
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(本小題10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程設(shè)橢圓的普通方程為
(1)設(shè)為參數(shù),求橢圓的參數(shù)方程;
(2)點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上.
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C與直線交于A,B兩點(diǎn),且求a的值.
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