Question

求關(guān)于x的方程ax²-(a²+a+1)x+a+1=0至少有一個(gè)正根的充要條件.

Answer 1

方程至少有一正根的充要條件是a＞-1

方法一 若a=0，則方程變?yōu)?x+1=0,x=1滿足條件，若a≠0，則方程至少有一個(gè)正根等價(jià)于
?
或-1＜a＜0或a＞0.
綜上：方程至少有一正根的充要條件是a＞-1.
方法二 若a=0，則方程即為-x+1=0,
∴x=1滿足條件；若a≠0，∵Δ=(a²+a+1)²-4a(a+1)=(a²+a)²+2(a²+a)+1-4a(a+1)
=(a²+a)²-2a(a+1)+1=(a²+a-1)²≥0，∴方程一定有兩個(gè)實(shí)根.
故而當(dāng)方程沒(méi)有正根時(shí)，應(yīng)有解得a≤-1,
∴至少有一正根時(shí)應(yīng)滿足a＞-1且a≠0,
綜上：方程有一正根的充要條件是a＞-1.