【題目】某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課,學(xué)生是否選修哪門課互不影響.已知某學(xué)生選修甲而不選修乙和丙的概率為0.08,選修甲和乙而不選修丙的概率是0.12,至少選修一門的概率是0.88,用ξ表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積.
(1)記“函數(shù)f(x)=x2+ξx為R上的偶函數(shù)”為事件A,求事件A的概率;
(2)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】
(1)解:設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z

依題意得 ,解得

若函數(shù)f(x)=x2+ξx為R上的偶函數(shù),則ξ=0

當(dāng)ξ=0時,表示該學(xué)生選修三門功課或三門功課都沒選.

∴P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1﹣x)(1﹣y)(1﹣z)

=0.4×0.5×0.6+(1﹣0.4)(1﹣0.5)(1﹣0.6)=0.24

∴事件A的概率為0.24


(2)解:依題意知ξ的取值為0和2由(1)所求可知

P(ξ=0)=0.24

P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)=0.76

則ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52


【解析】(1)由于學(xué)生是否選修哪門課互不影響,利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率解出學(xué)生選修甲、乙、丙的概率,由題意得到ξ=0時,表示該學(xué)生選修三門功課或三門功課都沒選,根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果.(2)用ξ表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積,所以變量的取值是0或2,結(jié)合第一問解出概率,寫出分布列,算出期望.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中,對于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡稱分布列才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

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【題目】某商場銷售某種品牌的空調(diào)器,每周周初購進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器,商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元,若供大于求,則每臺多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元;若供不應(yīng)求,則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),此時每臺空調(diào)器僅獲利潤200元.
(Ⅰ)若該商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器,求當(dāng)周的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位:臺,n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)器需求量n(單位:臺),整理得表:

周需求量n

18

19

20

21

22

頻數(shù)

1

2

3

3

1

以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器,X表示當(dāng)周的利潤(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】甲、乙兩個小組各10名學(xué)生的英語口語測試成績?nèi)缦?/span>(單位:分).

甲組:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙組:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74

現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,將抽出的學(xué)生為甲組學(xué)生記為事件A;“抽出學(xué)生的英語口語測試成績不低于85記為事件B,則P(AB)、P(A|B)的值分別是(  )

A. B. C. D.

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(2)是否存在一個實(shí)數(shù)t,使得bn= (an+t)(n∈N*),且數(shù)列{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出實(shí)數(shù)t;若不存在,請說明理由;
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性別

是否需要志愿者

需要

40

30

不需要

160

270

(1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿提供幫助的老年人的比例;

(2)能否有99℅的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?提供幫助的老年人的比例?說明理由.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

附:

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