Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f'（x）+6x的圖象的對稱軸為y軸
（I）求函數(shù)y=f（x）的解析式及它的單調(diào)遞減區(qū)間
（II）若函數(shù)y=f（x）的極小值在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）得圖象過（-1，-6）可得m-n=-3，則g（x）=f'（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n為偶函數(shù)可求m
由f'（x）＜0可求y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間
（2）由f'（x）=0可得x=0或x=2，由函數(shù)y=f（x）的極小值在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)可得-6∈（a-1，a+1），從而可求a得范圍
解答：解：（1）將點（-1，-6）代入，得m-n=-3…（2分）g（x）=f'（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n，
由題意得：m=0或m=-3…（4分）
所以f（x）=x³-3x²-2，f'（x）=2x（x-2）＜0⇒0＜x＜2，
故y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）…（8分）
（2）由f'（x）=0可得x=0或x=2

x	（-∞，0）		（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增	極大值-2	減	極小值-6	增

…（10分）
由題意得：…（12分）
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，屬于函數(shù)的導數(shù)的基本應用．