Question

將數(shù)列{a_n}  中的所有項按第一排三項，以下每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如數(shù)表：記表中的第一列數(shù)a₁，a₄，a₈，…構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，已知：
①在數(shù)列{b_n}  中，b₁=1，對于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為q（q＞0）的等比數(shù)列；
③a66=

2

5

．請解答以下問題：
（1）求數(shù)列{b_n}  的通項公式；
（2）求上表中第k（k∈N^*）行所有項的和S（k）；
（3）若關(guān)于x的不等式S(k)+

1

k

＞

1-x2

x

在x∈[

1

1000

 ， 

1

100

]上有解，求正整數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意知

bn+1

bn

=

n

n+1

，因此

b2

b1

=

1

2

，

b3

b2

=

2

3

，…，

bn

bn-1

=

n-1

n

，將各式相乘得 bn=

1

n

；
（2）設(shè)上表中每行的公比都為q，表中第1行至第9行共含有數(shù)列b_n的前63項，故a₆₆在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N^*）行所有項的和s（k）；
（3）先求

1

x

-x在x∈[

1

1000

，

1

100

]上的最大值，再解不等式即可．

解答：解：（1）由（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0，b_n＞0，
令 t=

bn+1

bn

得t＞0，且（n+1）t²+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以

bn+1

bn

=

n

n+1

（8分）
因此

b2

b1

=

1

2

，

b3

b2

=

2

3

，…，

bn

bn-1

=

n-1

n

，將各式相乘得 bn=

1

n

；
（2）設(shè)上表中每行的公比都為q，且q＞0．因為3+4+5+…+11=63，所以表中第1行至第9行共含有數(shù)列b_n的前63項，故a₆₆在表中第10行第三列，因此a66=b10•q2=

2

5

又b10=

1

10

所以q=2．則 S(k)=

bk(1-qk+2)

1-q

=

1

k

(2k+2-1)k∈N^*
（3）當(dāng)x∈[

1

1000

，

1

100

]時，∵

1

x

-x為減函數(shù)，∴最小值為100-

1

100

，∴

1

k

(2k+2-1)＞100-

1

100

，∴k≥8

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答．