Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F（-

3

，0），且過D（2，0），設(shè)點A（1，

1

2

）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由左焦點為F(-

3

，0)，右頂點為D（2，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點在x軸上求得方程．
（2）橢圓

x2

4

+y2=1的參數(shù)方程是

x=2cosα y=sinα

，α為參數(shù)，故P（2cosα，sinα），設(shè)線段PA的中點為M（x，y），由A（1，

1

2

），P（2cosα，sinα），知x=

1+cosα

2

，y=

1 2 +sinα

2

，由此能求出線段PA中點M的軌跡方程．

解答：解：（1）∵在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，
它的中心在原點，左焦點為F（-

3

，0），且過D（2，0），
∴橢圓的半長軸a=2，半焦距c=

3

，則半短軸b=1．
∵橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）橢圓

x2

4

+y2=1的參數(shù)方程是：

x=2cosα y=sinα

，α為參數(shù)．
∴P（2cosα，sinα），
設(shè)線段PA的中點為M（x，y），
∵A（1，

1

2

），P（2cosα，sinα），
∴x=

1+cosα

2

，y=

1 2 +sinα

2

，
∴cosα=2x-1，
sinα=2y-

1

2

，
∴（2x-1）²+（2y-

1

2

）²=1．
∴線段PA中點M的軌跡方程是（2x-1）²+（2y-

1

2

）²=1．

點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．