Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₁=C_2m^3m-2•P_m-1¹（m∈N^*），公比q是(x+

1

4x2

)4的展開式中的第二項(xiàng)（按x的降冪排列）．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）用n、x表示數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和S_n；
（3）若T_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n、x表示T_n．

Answer 1

分析：（1）在確定參數(shù)m值時(shí)，需要討論排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)，此處為：

2m≥3m-2 m-1≥1

，可得m=2；
（2）根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，另外二項(xiàng)展開式中的第二項(xiàng)的求解需要注意題意，即按x的降冪排列，可以求出展開式中的第二項(xiàng)為T2=T 1+1=

C

1 4

x 3

1

4x 2

=x，說(shuō)明公式q=x，在此基礎(chǔ)上再結(jié)合（1）就不難求出用n、x表示數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)和前項(xiàng)和S_n；
（3）在（1）中求得前n項(xiàng)和S_n的基礎(chǔ)上要分兩類x=1和x≠1來(lái)解答，當(dāng)x=1時(shí)的形式能使我們很容易得到表達(dá)式T_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n=0•C_n⁰+1•C_n¹+2•C_n²+3•C_n³+…+n•C_nⁿ，聯(lián)想組合數(shù)的性質(zhì)C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ，很容易構(gòu)造出解答T_n的式子及方法．當(dāng)x≠1時(shí)要分兩組式子分別計(jì)算得到T_n的值．

解答：解：（1）由排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)，得到不等式：

2m≥3m-2 m-1≥1

，可得2≤m≤2
∴m=2；
（2）由（1）知m=2，
由 (x+

1

4x2

)4的展開式中的同項(xiàng)公式知 T2=

C

1 4

x4-1(

1

4x2

)=x，

∴a_n=x^n-1
∴由等比數(shù)列的求和公式得：Sn=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

 
（3）當(dāng)x=1時(shí)，S_n=n，
所以：T_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵T_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，
∴上兩式相加得：2T_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴T_n=n•2^n-1，
當(dāng)x≠1時(shí)，Sn=

1-xn

1-x

，
所以有：
 Tn=

1-x

1-x

C

1 n

+

1-x2

1-x

C

2 n

+… +

1-x n

1-x

C

n n

 

= 1 1-x [( C 1 n + C 2 n +…+ C n n )-(x C 1 n +x2 C 2 n +…+xn C n n )]

 

= 1 1-x [2n-(1+x)n]，

∴Tn=

n•2n-1，x=1 2n-(1+x)n 1-x ，x≠1

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，二項(xiàng)式定理的內(nèi)容．公比為參數(shù)x的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的討論．對(duì)于二項(xiàng)式定理的展開應(yīng)用，本題需要注意是按照參數(shù)字母x的降冪排列，忽略這一點(diǎn)將導(dǎo)致錯(cuò)誤．