Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的圖象與軸交于兩點(diǎn)，起，求的取值范圍；

（3）令， ，證明： .

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí),求出，由 可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，從而確定的范圍；（3）當(dāng)時(shí)，先證明即， ， 得，則疊加得化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， 得，解得，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2），依題意可知，此時(shí)得，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又或時(shí)，

，

∴的圖象與軸交于兩點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)即

得.

∴的取值范圍為.

（3）令，

∵，∵，得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，得.

當(dāng)時(shí)， 即.

令， 得，則疊加得：

，

即.