Question

給出下列命題：
①存在實數(shù)x，使得sinx+cosx=

5

成立；
②函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數(shù)；
③方程x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的圖象的一條對稱軸；
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
⑤函數(shù)f（x）=sin2x的最小正周期是π．
其中，正確命題的序號是

 

（把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①由sinx+cosx=

2

sin(x+θ)∈[-

2

，

2

），能判斷①的真假；
②由函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)=-cos2x，能判斷②的真假；
③由函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

-

3π

8

．k∈Z．能判斷③的真假；
④由y=cosx在第一象限是減函數(shù)，能判斷④的真假；
⑤由函數(shù)f（x）=sin2x的最小正周期是

2π

2

=π，能判斷⑤的真假．

解答：解：①∵sinx+cosx=

2

sin(x+θ)∈[-

2

，

2

），
∴存在實數(shù)x，使得sinx+cosx=

5

成立是假命題，即①是假命題；
②∵函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)=-cos2x，
∴函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數(shù)，故②是真命題；
③∵函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的圖象的對稱軸方程滿足2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴它的對稱軸方程為x=

kπ

2

-

3π

8

．k∈Z．
∴當k=1時，方程x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的圖象的一條對稱軸，故③是真命題；
④∵y=cosx在第一象限是減函數(shù)，
∴若α、β是第一象限的角，且α＞β，則cosα＜cosβ，故④是真命題；
⑤函數(shù)f（x）=sin2x的最小正周期是

2π

2

=π，故⑤是真命題．
故答案為：②③④⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，注意三角函數(shù)的性質的合理運用．