【題目】設(shè)函數(shù),函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).
(1)若,都有成立(其中),求的值;
(2)證明:當(dāng)時(shí),;
(3)設(shè)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【解析】
(1)求導(dǎo),利用對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求即可即可
(2)證明等價(jià)證明,構(gòu)造函數(shù)求最值即可證明
(3)討論,恒成立,轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)求最值,證明當(dāng)時(shí)不成立,當(dāng)時(shí),利用(2)放縮證明h(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)即可求解,當(dāng)時(shí),構(gòu)造函數(shù),證明不成立即可求解
(1),則
因?yàn)?/span>,即恒成立(其中),
則,,即,且
(2)當(dāng)時(shí),要證即證,
令,則,
當(dāng)時(shí),,即在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,即在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),
則當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),,也即,
所以當(dāng)時(shí),
(3)當(dāng),本題無意義,顯然不成立,
所以不合題意,
當(dāng)時(shí),等價(jià)于,
由題設(shè),此時(shí)有,
當(dāng)時(shí),若,則有,此時(shí)不成立,
即不成立,所以不合題意,
當(dāng)時(shí),令,
則等價(jià)于,即當(dāng)且僅當(dāng),
,
又由(1)得,即,代入上式得:
,
①當(dāng)時(shí),由(2)知,即,
則
,此時(shí)函數(shù)h(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),
則,即恒成立,此時(shí)符合題意,
②當(dāng)時(shí),令,則,
又,則,即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),
即,也即,
則
當(dāng)時(shí),有,即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),
所以,即,所以不合題意,
綜上可得,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)對定義城內(nèi)的每一個值,在其定義域內(nèi)都存在唯一的,使得成立,則稱該函數(shù)為“函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”,并說明理由;
(2)若函數(shù)在定義域上為“函數(shù)”,求的取值范圍;
(3)已知函數(shù)在定義域上為“函數(shù)”.若存在實(shí)數(shù),使得對任意的,不等式都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的右焦點(diǎn)為,且短軸長為,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn),是否存在直線,使得交橢圓于兩點(diǎn),且恰是的垂心?若存在,求的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)研究曲線的性質(zhì),得到如下結(jié)論:①的取值范圍是;②曲線是軸對稱圖形;③曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為. 其中正確的結(jié)論序號為( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖甲,正方形的邊長為4,,分別為,的中點(diǎn),以為棱將正方形折成如圖乙所示,且,點(diǎn)在線段上且不與點(diǎn),重合,直線與由,,三點(diǎn)所確定的平面相交,交點(diǎn)為.
(1)若,試確定點(diǎn)的位置,并證明直線平面;
(2)若,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;
(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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