Question

已知函數(shù)，且數(shù)列{f（a_n）}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_n•f（a_n），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的最小值..

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)，且數(shù)列{f（a_n）}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可得，從而可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）寫出通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求和，確定其單調(diào)性，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的最小值．
解答：（1）證明：∵函數(shù)，且數(shù)列{f（a_n）}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
∴=2+（n-1）×2=2n
∴
∵
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；（7分）
（2）解：由（1）知，．…（8分）
∴，①
②…（10分）
②-①，得=
∴…（12分）
∵S_n+1-S_n=（n+1）×2ⁿ⁺²＞0
∴{S_n}是遞增數(shù)列，所以S_n的最小值等于S₁=4…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題．