Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在上無零點(diǎn)，求a的最小值；
（III）若對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為
（Ⅱ）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，則的最小值為；
（III）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的在上總存在兩個(gè)不同的，使成立．

(I)當(dāng)a=1時(shí)，解析式確定直接利用得到函數(shù)f(x)的增（減）區(qū)間.
（II）解本小題的關(guān)鍵是先確定在上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無零點(diǎn)，只要對(duì)任意的恒成立，即對(duì)恒成立．
再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求l(x)的最大值即可.
（III）解本小題的突破口是當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減.
所以，函數(shù)當(dāng)時(shí)，不合題意；再確定時(shí)的情況.
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由
       
故的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為         ………………………………4分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225708548521.png" style="vertical-align:middle;" />在上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無零點(diǎn)，
只要對(duì)任意的恒成立，即對(duì)恒成立．          
令則再令
在上為減函數(shù)，于是
從而，，于是在上為增函數(shù)
故要使恒成立，只要
綜上，若函數(shù)在上無零點(diǎn)，則的最小值為……………………8分
（III）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減
所以，函數(shù)當(dāng)時(shí)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，  
故必需滿足  ①
此時(shí)，當(dāng) 變化時(shí)的變化情況如下：

	—	0	+
	單調(diào)減	最小值	單調(diào)增

∴對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的
使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件② ③

令 
令，得
當(dāng)時(shí)， 函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以，對(duì)任意有即②對(duì)任意恒成立． 
由③式解得：    ④             
綜合①④可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的在上總存在兩個(gè)不同的，使成立．………………………………14分