Question

集合M由滿足以下條件的函數f（x）組成：對任意x₁，x₂∈[-1，1]時，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．對于兩個函數f1(x)=x2-2x+5，  f2(x)=

|x|

，以下關系成立的是（　�。�．

• A、f₁（x）∈M，f₂（x）∈M
• B、f₁（x）∉M，f₂（x）∉M
• C、f₁（x）∉M，f₂（x）∈M
• D、f₁（x）∈M，f₂（x）∉M

Answer 1

分析：首先分析題目已知集合M由f（x）組成，f（x）滿足對任意x₁，x₂∈[-1，1]時，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．
故下需證明函數f1(x)=x2-2x+5，  f2(x)=

|x|

，是否滿足對任意x₁，x₂∈[-1，1]時，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．對于f₁（x）=x²-2x+5可直接代入化簡即可得到答案，對于f2(x)=

|x|

考慮到取特殊值的方法，可以驗證不成立．

解答：解：對于f₁（x）=x²-2x+5對任意x₁，x₂∈[-1，1]
|f₁（x₁）-f₁（x₂）|=|x₁²-2x₁-5-x₂²+2x₂+5|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-2|≤4|x₁-x₂|
故f₁（x）∈M．
對于f2(x)=

|x|

，對任意x₁，x₂∈[-1，1]
|f1(x1)-f1(x2) |=|

|x1|

-

|x2|

|
當x1=

1

64

，x2=0
則此時|f1(x1)-f1(x2) |=

1

8

≤  4•

1

64

=

1

16

，矛盾，
故f₂（x）∉M．
故選D．

點評：此題屬于新概念的問題，題中考查了絕對值不等式的應用．對于此類型的題目需要對題目概念做認真分析再做題．屬于中檔題目．