Question

1．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（a-2）-b²+16=0．
（1）若a、b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率；
（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程沒有實根的概率．

Answer 1

分析 （1）本題是一個古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個滿足條件的事件是二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有兩正根，根據(jù)實根分布得到關(guān)系式，得到概率．
（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a-2）²+b²＜16}，做出兩者的面積，得到概率．

解答 解：設(shè)“方程有兩個正根”的事件為A，
（1）由題意知本題是一個古典概型用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件
依題意知，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個，
二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有兩正根，等價于$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{16-^{2}＞0}\\{4（a-2）^{2}+4（^{2}-16）≥0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{-4＜b＜4}\\{（a-2）^{2}+^{2}≥16}\end{array}\right.$，
則事件A包含的基本事件為（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4個
∴所求的概率為P（A）=$\frac{1}{9}$；
（2）由題意知本題是一個幾何概型，
試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，
其面積為S（Ω）=12
滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a-2）²+b²＜16}，如圖中陰影部分所示，
其面積為S（B）=$\frac{1}{2}×\frac{π}{6}×4×4+\frac{1}{2}×2×\sqrt{16-4}$=$\frac{4π}{3}+2\sqrt{3}$，
∴所求的概率P（B）=$\frac{2π+3\sqrt{3}}{18}$．

點評 本題考查古典概型和幾何概型，幾何概型和古典概型是高中必修中學習的，高考時常以選擇和填空出現(xiàn)，有時文科會考這種類型的解答題目．