Question

（本題滿分10分）

如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析：解：（I）以O為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．

 

所以，cos<>．          ……………………3分

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，

所以，異面直線BE與AC所成角的余弦值是．      ……………………5分

（II），，

設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得，

取，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040920124362508297/SYS201304092013360781627335_DA.files/image014.png">

所以平面BEC的一個(gè)法向量為n₂＝（0，0，1），

所以． ……………………8分

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補(bǔ)角，

所以，二面角A－BE－C的余弦值是．……………………10分

考點(diǎn)：本試題考查了異面直線的角和二面角的求解。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于角的求解問(wèn)題，一般分為三步進(jìn)行，一作，二證，三解答。因此要掌握角的表示，結(jié)合定義法和性質(zhì)來(lái)分析得到角，進(jìn)而求解，屬于基礎(chǔ)題。