Question

【題目】橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）M，N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，P是橢圓上不同于M，N的一點，直線PM，PN交x軸于D（xD，0）E（xE，0），證明：xDxE為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由已知條件圓與直線相切，求出，再由離心率結合關系，即可求解；

（2）設M（x0，y0），N（x0，﹣y0），P（xP，yP），求出直線PM，PN方程，進而求出坐標，結合點在橢圓上，即可證明結論.

（1）由題意e，b1，

所以a，

因此求橢圓的方程；

（2）證明：設M（x0，y0），N（x0，﹣y0），P（xP，yP），

則直線PM：y﹣y0（x﹣x0），

令y＝0，得xDx0，

同理直線PN：y+y0（x﹣x0），

得xEx0，

所以xDxE＝（x0）（x0），①

又，，

則x02＝2（1﹣y02），xP2＝2（1﹣yP2），代入① 整理得xDxE＝2

所以xDxE為定值2．