Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，

（1）寫(xiě)出數(shù)列的前三項(xiàng)，，；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有

Answer 1

證明見(jiàn)解析

解析:

⑴由遞推公式易求：a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：（n>1）

化簡(jiǎn)得：

,

故數(shù)列{}是以為首項(xiàng), 公比為的等比數(shù)列.

故   ∴

∴數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：.

⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來(lái)一起進(jìn)行放縮，嘗試知：，

，因此，可將保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對(duì)進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

 

                  

                  

                  

（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，

所以對(duì)任意整數(shù)，有。