Question

某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究需要一種高標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品，對(duì)這種產(chǎn)品要檢測(cè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)，各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響，若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

，按要求只有兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品才能用于該實(shí)驗(yàn)（稱為合格品），
（Ⅰ）設(shè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為p₁、p₂，求一件產(chǎn)品經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若進(jìn)行該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)需要這種產(chǎn)品100個(gè)，為保證實(shí)驗(yàn)的順利進(jìn)行，則至少要購進(jìn)多少件這樣的產(chǎn)品？

Answer 1

分析：（Ⅰ）有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

，故有p1(1-p2)+(1-p1)p2=

5

12

，又至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

，故有1-(1-p2)(1-p1)=

11

12

．由此能求出一件產(chǎn)品經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率．
（Ⅱ）設(shè)需要購進(jìn)的產(chǎn)品數(shù)為n，且n個(gè)產(chǎn)品中合格品的個(gè)數(shù)為ξ，依題意知ξ～B(n，

1

2

)，所以Eξ=

1

2

n，為保證實(shí)驗(yàn)的順利進(jìn)行，則Eξ≥100．由此能求出至少需要購進(jìn)這種產(chǎn)品的件數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

∴有p1(1-p2)+(1-p1)p2=

5

12

…①
又至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

∴有1-(1-p2)(1-p1)=

11

12

…②
聯(lián)立①、②得

p1+p2-2p1p2= 5 12 p1+p2-p1p2= 11 12

解得：p1p2=

1

2

∴一件產(chǎn)品經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率為p1p2=

1

2

（Ⅱ）設(shè)需要購進(jìn)的產(chǎn)品數(shù)為n，且n個(gè)產(chǎn)品中合格品的個(gè)數(shù)為ξ，
依題意知ξ～B(n，

1

2

)，
∴Eξ=

1

2

n，
為保證實(shí)驗(yàn)的順利進(jìn)行，則Eξ≥100，
即

1

2

n≥100，解得：n≥200，
故至少需要購進(jìn)這種產(chǎn)品200件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．本題對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．