Question

4．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為a的半圓，則此圓錐的體積為$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$．

Answer 1

分析 半徑為a的半圓的弧長(zhǎng)是aπ，圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，因而圓錐的底面周長(zhǎng)是aπ，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算，求出半徑，進(jìn)而可得高，即可求出圓錐的體積．

解答 解：∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為a的半圓，
∴圓錐的母線長(zhǎng)為a，
設(shè)圓錐的底面半徑為r，
則2πr=π×a，
∴r=$\frac{a}{2}$．
圓錐的高為：$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴圓錐的體積=$\frac{1}{3}$×（$\frac{a}{2}$）²×π×$\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．