Question

【題目】已知直線(xiàn)與圓C：相交，截得的弦長(zhǎng)為.

（1）求圓C的方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)O作圓C的兩條切線(xiàn)，與函數(shù)的圖象相交于M、N兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），證明：直線(xiàn)與圓C相切；

（3）若函數(shù)圖象上任意三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R，且滿(mǎn)足直線(xiàn)和都與圓C相切，判斷線(xiàn)與圓C的位置關(guān)系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）直線(xiàn)與圓C相切；證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）化圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線(xiàn)的距離，用表示出弦長(zhǎng)，從而求得，得圓方程；

（2）求出過(guò)原點(diǎn)的圓的兩條切線(xiàn)方程，然后求得兩條切線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)后可得證；

（3）設(shè)，，，由此寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，由直線(xiàn)與圓相切得出的關(guān)系，可得；，然后可證直線(xiàn)也與圓相切．

（1）解：圓C：，可化為圓，

圓心到直線(xiàn)的距離，

∵截得的弦長(zhǎng)為，

∴，

∴，

∴圓C的方程為；

（2）證明：設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的切線(xiàn)方程為，即，

圓心到直線(xiàn)的距離，∴，

∴設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的切線(xiàn)方程為，

與函數(shù)，聯(lián)立可得，∴與圓C相切；

（3）解：設(shè)，，，可得，

直線(xiàn)的方程為，即為，

同理可得，直線(xiàn)的方程為，

直線(xiàn)的方程為，

∵直線(xiàn)和都與圓C相切，

∴，，即為，

，即有b，c為方程的兩根，

可得；，

由圓心到直線(xiàn)的距離為，

則直線(xiàn)與圓C相切.