已知函數(shù)， 
（1）若曲線與在公共點處有相同的切線，求實數(shù)、的值；
（2）當時，若曲線與在公共點處有相同的切線，求證：點唯一；
（3）若，，且曲線與總存在公切線，求正實數(shù)的最小值

（1）；（2）詳見解析；（3）正實數(shù)的最小值為1

解析試題分析：（1）求實數(shù)、的值，因為曲線與在公共點處有相同的切線，由導數(shù)的幾何意義可得，，解出即可；（2）當時，若曲線與在公共點處有相同的切線，求證：點唯一，可設，由題設得，，轉化為關于的方程只有一解，進而構造函數(shù)，轉化為函數(shù)只有一個零點，可利用導數(shù)即可證明；（3）設曲線在點處的切線方程為，則只需使該切線相切即可，也即方程組只有一解即可，所以消后，問題轉化關于的方程總有解，分情況借助導數(shù)進行討論即可求得值最小值
試題解析：（1）， ∵曲線與在公共點處有相同的切線∴　，　 解得，            3分
（2）設，則由題設有       ①又在點有共同的切線
∴代入①得     5分
設，則，
∴在上單調遞增，所以 ＝0最多只有個實根，
從而，結合（1）可知，滿足題設的點只能是            7分
（3）當，時，，，
曲線在點處的切線方程為，即 
由，得  
∵ 曲線與總存在公切線，∴ 關于的方程，
即 總有解                    9分
若，則，而，顯然不成立，所以     10分
從而，方程可化為  
令，則

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

定義在R上的函數(shù)及二次函數(shù)滿足：且。
（1）求和的解析式；
（2）；
（3）設，討論方程的解的個數(shù)情況．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，對任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．
(1)證明：當x≥0時，f(x)≤(x＋c)2；
(2)若對滿足題設條件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某鎮(zhèn)政府為了更好地服務于農民，派調查組到某村考察．據(jù)了解，該村有100戶農民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為3萬元．為了調整產(chǎn)業(yè)結構，該鎮(zhèn)政府決定動員部分農民從事蔬菜加工．據(jù)估計，若能動員x(x＞0)戶農民從事蔬菜加工，則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農民平均每戶的年收入有望提高2x%，而從事蔬菜加工的農民平均每戶的年收入將為3 (a＞0)萬元．
(1)在動員x戶農民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農民的總年收入不低于動員前從事蔬菜種植的農民的總年收入，求x的取值范圍；
(2)在(1)的條件下，要使這100戶農民中從事蔬菜加工的農民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農民的總年收入，求a的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

現(xiàn)有A，B兩個投資項目，投資兩項目所獲得利潤分別是和（萬元），它們與投入資金(萬元)的關系依次是：其中與平方根成正比，且當為4（萬元）時為1（萬元），又與成正比，當為4（萬元）時也是1（萬元）；某人甲有3萬元資金投資.
（1）分別求出，與的函數(shù)關系式；
（2）請幫甲設計一個合理的投資方案，使其獲利最大，并求出最大利潤是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某投資公司計劃投資A，B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調查與預測，A產(chǎn)品的利潤y1與投資金額x的函數(shù)關系為y1＝18－，B產(chǎn)品的利潤y2與投資金額x的函數(shù)關系為y2＝(注：利潤與投資金額單位：萬元).
(1)該公司已有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品中，其中x萬元資金投入A產(chǎn)品，試把A，B兩種產(chǎn)品利潤總和表示為x的函數(shù)，并寫出定義域；
(2)在（1）的條件下，試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象在點（ｅ為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值－１.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

我國西部某省4A級風景區(qū)內住著一個少數(shù)民族村，該村投資了800萬元修復和加強民俗文化基礎設施，據(jù)調查，修復好村民俗文化基礎設施后，任何一個月內（每月按30天計算）每天的旅游人數(shù)與第x天近似地滿足（千人），且參觀民俗文化村的游客人均消費近似地滿足（元）．
（1）求該村的第x天的旅游收入（單位千元，1≤x≤30，）的函數(shù)關系；
（2）若以最低日收入的20％作為每一天的計量依據(jù)，并以純收入的5％的稅率收回投資成本，試問該村在兩年內能否收回全部投資成本？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）若，當時，求的取值范圍；
（2）若定義在上奇函數(shù)滿足，且當時，，求在上的反函數(shù)；
（3）對于（2）中的，若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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