【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣alnx(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值;
(2)討論方程f(x)=0解的個(gè)數(shù),并說明理由.
【答案】
(1)解:因?yàn)椋? (x>0),又f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b
所以 解得:a=2,b=﹣2ln2
(2)解:當(dāng)a=0時(shí),f(x)在定義域(0,+∞)上恒大于0,此時(shí)方程無解;
當(dāng)a<0時(shí), 在(0,+∞)上恒成立,
所以f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù).∵ , ,所以方程有惟一解.
當(dāng)a>0時(shí),
因?yàn)楫?dāng) 時(shí),f'(x)>0,f(x)在 內(nèi)為減函數(shù);
當(dāng) 時(shí),f(x)在 內(nèi)為增函數(shù).
所以當(dāng) 時(shí),有極小值即為最小值
當(dāng)a∈(0,e)時(shí), ,此方程無解;
當(dāng)a=e時(shí), .此方程有惟一解 .
當(dāng)a∈(e,+∞)時(shí), ,
因?yàn)? 且 ,所以方程f(x)=0在區(qū)間 上有惟一解,
因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),(x﹣lnx)'>0,所以x﹣lnx>1,
所以, ,
因?yàn)?/span> ,所以 ,
所以 方程f(x)=0在區(qū)間 上有惟一解.
所以方程f(x)=0在區(qū)間(e,+∞)上有惟兩解.
綜上所述:當(dāng)a∈[0,e)時(shí),方程無解;
當(dāng)a<0或a=e時(shí),方程有惟一解;
當(dāng)a>e時(shí)方程有兩解.
【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),利用f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,列出方程組求解a,b.(2)通過a=0,a<0,判斷方程的解.a(chǎn)>0,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出極小值,分析出當(dāng)a∈[0,e)時(shí),方程無解;當(dāng)a<0或a=e時(shí),方程有惟一解;當(dāng)a>e時(shí)方程有兩解.
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【題目】如圖,已知AB是半徑為2的半球O的直徑,P,D為球面上的兩點(diǎn)且∠DAB=∠PAB=60°, .
(1)求證:平面PAB⊥平面DAB;
(2)求二面角B﹣AP﹣D的余弦值.
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【題目】在△ABC中,設(shè)邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,且a>c.已知△ABC的面積為 , ,b=3.
(Ⅰ)求a,c的值;
(Ⅱ)求sin(B﹣C)的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+a),g(x)=﹣ +ax.
(1)函數(shù)h(x)=f(ex﹣a)+g'(ex),x∈[﹣1,1],求函數(shù)h(x)的最小值;
(2)對(duì)任意x∈[2,+∞),都有f(x﹣a﹣1)﹣g(x)≤0成立,求a的范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx.若存在x1 , x2 , ,xm滿足0≤x1<x2<<xm≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|++|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12(m≥2,m∈N*),則m的最小值為 .
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)滿足xf′(x)+f(x)= ,f(e)= ,則函數(shù)f(x)( )
A.在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減
B.在(0,+∞)上單調(diào)遞增
C.在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增
D.在(0,+∞)上單調(diào)遞減
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【題目】[選修4-5:不等式選講]
設(shè)函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0).
(Ⅰ)求證:f(x)≥8恒成立;
(Ⅱ)求使得不等式f(1)>10成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知雙曲線C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,第二象限的點(diǎn)M在雙曲線C的漸近線上,且|OM|=a,若直線MF的斜率為 ,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±3x
D.y=±4x
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣a﹣ln(x+a).
(1)當(dāng) 時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)當(dāng)a≤1時(shí),證明:f(x)>0.
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