Question

【題目】設(shè)f（x）=4cos（ωx﹣ ）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的值域
（2）若f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=4cos（ωx﹣ ）sinωx﹣cos（2ωx+π）

=4（ cosωx+ sinωx）sinωx+cos2ωx

=2 cosωxsinωx+2sin2ωx+cos2ωx﹣sin2ωx

= sin2ωx+1，

∵﹣1≤sin2ωx≤1，

所以函數(shù)y=f（x）的值域是[ ]

（2）解：因y=sinx在每個區(qū)間[ ]，k∈z上為增函數(shù)，

令 ，又ω＞0，

所以，解不等式得 ≤x≤ ，即f（x）= sin2ωx+1，（ω＞0）在每個閉區(qū)間[ ， ]，k∈z上是增函數(shù)

又有題設(shè)f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)

所以 [ ， ]，對某個k∈z成立，

于是有 ．解得ω≤ ，故ω的最大值是 ．

【解析】（1）由題意，可由三角函數(shù)的恒等變換公式對函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡得到f（x）= sin2ωx+1，由此易求得函數(shù)的值域；（2）f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)，此區(qū)間必為函數(shù)某一個單調(diào)區(qū)間的子集，由此可根據(jù)復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性求出用參數(shù)表示的三角函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由集合的包含關(guān)系比較兩個區(qū)間的端點即可得到參數(shù)ω所滿足的不等式，由此不等式解出它的取值范圍，即可得到它的最大值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的兩角和與差的正弦公式和二倍角的正弦公式，需要了解兩角和與差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：才能得出正確答案．