Question

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：

(1)DE＝DA

(2)平面BDN⊥平面ECA

(3)平面DEA⊥平面FCA

Answer 1

答案：
解析：

思路　　(1)要證明DE＝DA，只須證明Rt△DFE≌Rt△DBA； 　　(2)注意M為EA的中點(diǎn)，可取CA的中點(diǎn)N，先證明N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)，再證明平面BDMN經(jīng)過平面ECA的一條垂線即可． 　　(3)仍需證明平面EDA經(jīng)過平面ECA的一條垂線． 　　解答　　(1)如圖，取EC的中點(diǎn)F，連接DF， 　　∵EC⊥BC，易知DF∥BC，∴DF⊥EC 　　在Rt△EFD和Rt△DBA中， 　　∵EF＝EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB 　　∴Rt△EFD≌Rt△DBA 故DE＝DA 　　(2)取CA的中點(diǎn)N，連接MN、BN，則MNEC 　　∴MN∥BD∴N點(diǎn)在平面BDM內(nèi) 　　∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BC又CA⊥BN 　　∴BN⊥平面ECA，∵BN在平面MNBD內(nèi) 　　∴平面MNBD⊥平面ECA 　　(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA 　　∴DM⊥平面ECA又DM平面DEA 　　∴平面DEA⊥平面ECA 　　評(píng)析　　本題涉及線面垂直．面面垂直的性質(zhì)和判定，其中證明BN⊥平面ECA是關(guān)鍵．