Question

在△ABC中，角A的對(duì)邊長(zhǎng)等于2，向量=，向量=．
（1）求•取得最大值時(shí)的角A的大小；
（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求出•，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后進(jìn)行配方得到•=-2，由為銳角，利用二次函數(shù)求最值得到•取最小值時(shí)sin=，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出A即可；
（2）由a=2，根據(jù)第一問(wèn)求得cosA的值，利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，根據(jù)S_△ABC=bcsinA=bc，把bc的最大值代入到面積公式里得到面積的最大值．
解答：解：（1）•=2-．
因?yàn)锳+B+C=π，所以B+C=π-A，
于是•=+cosA=-2=-2．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221307665416414/SYS201311012213076654164015_DA/21.png">，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即A=時(shí)，•取得最大值．
故•取得最大值時(shí)的角A=；

（2）設(shè)角、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c由余弦定理，得b²+c²-a²=2bccosA
即bc+4=b²+c²≥2bc，所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)．
又S_△ABC=bcsinA=bc≤．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時(shí)，△ABC的面積最大為．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)進(jìn)行平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，靈活運(yùn)用二次函數(shù)求值的方法及靈活運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)求值．會(huì)利用基本不等式求最值．