Question

已知曲線C：+x²=1；
（1）由曲線C上任一點(diǎn)E向x軸作垂線，垂足為F，點(diǎn)P在上，且 ．問：點(diǎn)P的軌跡可能是圓嗎？請說明理由；
（2）如果直線l的斜率為，且過點(diǎn)M（0，-2），直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，又，求曲線C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于 而點(diǎn)E在曲線C上F點(diǎn)也易求故可用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示E點(diǎn)的坐標(biāo)再將E點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線C的方程化簡整理再討論即可．
（2）根據(jù)題中的條件易求直線L的方程：y=x-2而求曲線C的方程即求m故需利用題中條件這需用點(diǎn)M，A，B的坐標(biāo)求出，故須設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即可求出=3x₁x₂故需直線方程y=x-2與曲線C：+x²=1聯(lián)立求出x₁x₂代入求出m即可得解．
解答：解：（1）設(shè)E（x，y），P（x，y）則F（x，0）
∵
∴
∴代入中，得為P點(diǎn)軌跡方程．
    當(dāng)m=時(shí)軌跡是圓．
（2）由題設(shè)知直線的方程為y=x-2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立方程組可得
     消去y得：（m+2）x²-4x+4-m=0
∵方程有兩解
∴m+2≠0且△＞0
∴m＞0或m＜0且m≠-2
∵，而=3x₁x₂
∵且
∴
∴m=-14∴曲線C的方程是
點(diǎn)評：本題考查了向量與圓錐曲線的綜合．第一問著重考查了利用向量相等和相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程這是求軌跡方程中經(jīng)常用到的一種方法．第二問著重考查了利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算及方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)m的值，求解此問的關(guān)鍵是求出的m的值須使聯(lián)立方程后的方程：（m+2）x²-4x+4-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根即需在m＞0或m＜0且m≠-2的范圍內(nèi)！