Question

14．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），上、下頂點(diǎn)分別為B₁、B₂，右準(zhǔn)線l：x=4．
（1）求橢圓的方程；
（2）連接B₁F₂并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)M，連接B₂M并延長(zhǎng)交右準(zhǔn)線于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）是否存在非零常數(shù)λ，μ，使得對(duì)橢圓上任一點(diǎn)Q，總有$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$且AB=μ（其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上），若存在，求出常數(shù)λ，μ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c=1，準(zhǔn)線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即a=2，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的方程；
（2）直線B₁M方程為：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，代入橢圓方程，求得點(diǎn)M（$\frac{8}{5}$，$\frac{-3\sqrt{3}}{5}$），直線B₂M方程為：y=$\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，當(dāng)x=4，求得y=0，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），a²+b²=μ²，$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{QB}丨}$=λ，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則-x=$\frac{丨\overrightarrow{QB}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•丨$\overrightarrow{AO}$丨=$\frac{1}{λ+1}$a，y=$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•b=$\frac{λ}{λ+1}$b，代入橢圓方程，整理可知：當(dāng)4λ²-3=0時(shí)，即當(dāng)λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，3μ²=12（λ+1）²，即可求得常數(shù)λ，μ的值．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
由c=1，準(zhǔn)線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即a=2，
由b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）直線B₁M方程為：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
代入橢圓方程，求得點(diǎn)M（$\frac{8}{5}$，$\frac{-3\sqrt{3}}{5}$），
直線B₂M方程為：y=$\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
代入橢圓方程，當(dāng)x=4，求得y=0，
∴N（-4，0），
（3）如圖可知：A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），
由a²+b²=μ²，
由$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{QB}丨}$=λ，
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則-x=$\frac{丨\overrightarrow{QB}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•丨$\overrightarrow{AO}$丨=$\frac{1}{λ+1}$a，
y=$\frac{丨\overrightarrow{AQ}丨}{丨\overrightarrow{AB}丨}$•b=$\frac{λ}{λ+1}$b，
∵Q在橢圓上，則Q（x，y）滿足橢圓方程，
$\frac{3{a}^{2}}{（λ+1）^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}^{2}}{（λ+1）^{2}}$=12，整理得：3a²+4λ²b²=12（λ+1）²，
由a²+b²=μ²，則a²=μ²-b²，
代入整理得：3（μ²-b²）+4λ²b²=12（λ+1）²，即3μ²+（4λ²-3）b²=12（λ+1）²，
∴當(dāng)4λ²-3=0時(shí)，即當(dāng)λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，
3μ²=12（λ+1）²，
則μ=4（λ+1）²，即μ=$\sqrt{3}$+2，
∴當(dāng)λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，總有$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$且AB=μ=$\sqrt{3}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題．