Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且滿足，求面積最大時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意列關(guān)于,,的方程組,求解,的值,則橢圓方程可求;

(2)由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,,,,,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量等式可得值,寫(xiě)出三角形面積公式,得到關(guān)于的函數(shù)式,整理后利用基本不等式求最值,然后求得的方程.

(1)由題意得,解得,

所以橢圓的方程為;

(2)由題意可知,直線的斜率顯然存在,

設(shè)直線的方程為,,,

由得,

①

所以,所以,

因?yàn)?/span>,所以,

所以,代入①得且,

所以

,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)上式取等號(hào),此時(shí)符合題意,

所以直線的方程為.