【題目】如圖,幾何體EF﹣ABCD中,CDEF為邊長(zhǎng)為2的正方形,ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.

(1)求證:AC⊥FB
(2)求二面角E﹣FB﹣C的大。

【答案】
(1)證明:由題意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,

∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC,

∵四邊形CDEF為正方形.∴DC⊥FC

由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥AC

又∵四邊形ABCD為直角梯形,

AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4

, ,則有AC2+BC2=AB2

∴AC⊥BC

由BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,∴AC⊥FB


(2)解:由(1)知AD,DC,DE所在直線相互垂直,

故以D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線分別為x,y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

可得D(0,0,0),F(xiàn)(0,2,2),B(2,4,0),

E(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0),

由(1)知平面FCB的法向量為

,

設(shè)平面EFB的法向量為 ,

則有:

令z=1則 ,

設(shè)二面角E﹣FB﹣C的大小為θ,

,∴


【解析】(1)由題意得,AD⊥DC,AD⊥DF,從而AD⊥FC,DC⊥FC,由此能證明AC⊥FB.(2)以D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E﹣FB﹣C的大。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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參加社團(tuán)活動(dòng)

不參加社團(tuán)活動(dòng)

合計(jì)

學(xué)習(xí)積極性高

學(xué)習(xí)積極性一般

合計(jì)

(1)請(qǐng)把表格數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整;

(2)若從不參加社團(tuán)活動(dòng)的人按照分層抽樣的方法選取人,再從所選出的人中隨機(jī)選取兩人作為代表發(fā)言,求至少有一個(gè)學(xué)習(xí)積極性高的概率;

(3)運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析:請(qǐng)你判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參與社團(tuán)活動(dòng)由關(guān)系?

附:

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【題目】已知左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓與直線相交于兩點(diǎn),使得四邊形為面積等于的矩形.

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(1)求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Tn , 求Tn

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