【題目】設(shè)a≥0,f(x)=x﹣1﹣ln2x+2alnx(x>0).
(1)令F(x)=xf′(x),討論F(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值;
(2)求證:當(dāng)x>1時(shí),恒有x>ln2x﹣2alnx+1.

【答案】
(1)

解:根據(jù)求導(dǎo)法則有 ,

故F(x)=xf'(x)=x﹣2lnx+2a,x>0,

于是 ,

∴知F(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù),在(2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),

所以,在x=2處取得極小值F(2)=2﹣2ln2+2a.


(2)

證明:由a≥0知,F(xiàn)(x)的極小值F(2)=2﹣2ln2+2a>0.

于是知,對(duì)一切x∈(0,+∞),恒有F(x)=xf'(x)>0.

從而當(dāng)x>0時(shí),恒有f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.

所以當(dāng)x>1時(shí),f(x)>f(1)=0,即x﹣1﹣ln2x+2alnx>0.

故當(dāng)x>1時(shí),恒有x>ln2x﹣2alnx+1.


【解析】(1)先根據(jù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間及極值即可.(2)欲證x>ln2x﹣2a ln x+1,即證x﹣1﹣ln2x+2alnx>0,也就是要證f(x)>f(1),根據(jù)第一問的單調(diào)性即可證得.

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