Question

（09年海淀區(qū)二模文）（14分）

如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓上，對(duì)角線AC、BD互相垂直且平分于原點(diǎn)O.

（1）若點(diǎn)A在第一象限，直線AB的斜率為1，求直線AB的方程；

（2）求四邊形ABCD面積的最小值.

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為                   1分

       ∵四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓上，

       ，∴，即

       則△                                                      2分

                                                                            3分

       ∴

       =

       又OA⊥OB，所以                                                  4分

       ∴

       ∴，                                                                                         5分

       ∵點(diǎn)A在第一象限∴

       所以直線AB的方程為                                                                      6分

   （Ⅱ）①若直線AB⊥軸，設(shè)其方程為，此時(shí)易知道直線AC、BD的方程分別

       為，，且四邊形ABCD是正方形，

       則A（x₀，x₀），B（x₀，―x₀），

       ，

       四邊形ABCD的面積                                                     8分

       ②若直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

       ，∴

       即                                                             9分

       則△

       =

                                                                    10分

       ∴

       =

又所以

                             …………………………11分

所以|AB|

直角三角形OAB斜邊AB上的高

所以

，   ……………………13分

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取得此最小值，此時(shí)=8        ……………………14分

綜上所述，四邊形ABCD面積的最小值為8.