【題目】設(shè)函數(shù), , .

(1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;

(2)若函數(shù)有兩個零點,試求的取值范圍;

(3)證明.

【答案】(1)(2)(3)見解析

【解析】試題分析:

1)求出導數(shù),計算得切線斜率,由點斜式寫出直線方程,整理成一般式即可;

2函數(shù)有兩個零點,首先用導數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì):單調(diào)性、極值,然后由零點存在定理進行判斷,求出,按分類討論, 時, 只有一個零點; 時, ,這樣易判斷的正負,從而得的單調(diào)區(qū)間和極值,由零點存在定理可判斷符合題意;在時, 有兩個解,又要按的大小分類研究的正負得的單調(diào)性,從而確定零點個數(shù),最后綜合可得;

3證明函數(shù)不等式,可證,設(shè),利用導數(shù)求出的最大值,只要最大值小于等于0,即證.

試題解析:

(1)函數(shù)的定義域是, .

時, .

所以函數(shù)在點處的切線方程為.

.

(2)函數(shù)的定義域為,由已知得.

①當時,函數(shù)只有一個零點;

②當,因為

時, ;當時, .

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

,

因為,所以, 所以,所以

,顯然

所以, .

由零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)有兩個零點.

③當時,由,得,或.

,則.

變化時, , 變化情況如下表:

注意到,所以函數(shù)至多有一個零點,不符合題意.

,則 單調(diào)遞增,函數(shù)至多有一個零點,不符合題意.

,則.

變化時, , 變化情況如下表:

注意到當, 時, ,所以函數(shù)至多有一個零點,不符合題意.

綜上, 的取值范圍是.

(3)證明: .

設(shè),其定義域為,則證明即可.

因為,取,則,且.

又因為,所以函數(shù)上單增.

所以有唯一的實根,且.

時, ;當時, .

所以函數(shù)的最小值為.

所以.

所以.

練習冊系列答案
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(2)試估計該公司投入萬元廣告費用之后,對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);

(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數(shù)據(jù)顯示, 之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.

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