已知雙曲線C：
x2
2
-y2 =1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，記λ=
MP
•
MQ
．求λ的取值范圍．
分析：（1）令雙曲線方程的右邊為0，化簡(jiǎn)即可得到雙曲線的漸近線方程；
（2）用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)雙曲線的范圍，可求得λ的取值范圍．
解答：解：（1）由雙曲線C：
x2
2
-y2 =1．
可得
x2
2
-y2 =0
解得所求漸近線方程為y-
2
2
x=0， y+
2
2
x=0
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則Q的坐標(biāo)為（-x0，-y0），
∴λ=
MP
•
MQ
=(x0，y0-1)•(-x0，-yo-1)=-
x
2
0
-
y
2
0
+1=-
3
2
x
2
0
+2．
∵|x0|≥
2

∴λ的取值范圍是（-∞，-1]．
點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積，考查函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
2
-y2=1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．記λ=
MP
•
MQ
．求λ的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)D，E，M的坐標(biāo)分別為（-2，-1），（2，-1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)．記l為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長(zhǎng)．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線c：
x2
2
-y2=1，設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A(-3
2
，0)，
（1）當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；
（2）證明：當(dāng)k＞
2
2
時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
2
-
y2
b2
=1(b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P，M為C上任意點(diǎn)，∠F1PF2=
π
2
，S△PF1F2=1，N(
3
2
，1)，則
6
3
|MF2|+|MN|的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海 題型：解答題

已知雙曲線c：
x2
2
-y2=1，設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A(-3
2
，0)，
（1）當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；
（2）證明：當(dāng)k＞
2
2
時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為
6
．

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