Question

【題目】已知函數(shù)（a為常數(shù)）與x軸有唯一的公共點(diǎn)A．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）曲線在點(diǎn)A處的切線斜率為，若存在不相等的正實(shí)數(shù)，，滿足，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性求出f（x）的最小值，從而確定a的范圍；
（Ⅱ）求出a的值，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜1＜x2，得到(x121+3lnx1)＝x221+3lnx2，令p（t）=2t+3lnt-2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

故由題意可知曲線與x軸存在公共點(diǎn)，又，則有

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域上遞增，滿足條件；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，

①若時(shí)，則，取，則，

故由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上還有一個(gè)零點(diǎn)，因此不符合題意；

②若，則函數(shù)的極小值為，符合題意；

③若，則由函數(shù)的單調(diào)性，有，取，有．

下面研究函數(shù)

，，因?yàn)?/span>恒成立，故函數(shù)在上遞增．故，故成立，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，不符合題意．

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間．

（Ⅱ）容易知道函數(shù)在處的切線斜率為，得，

由（Ⅰ）可知，且函數(shù)在區(qū)間上遞增．

不妨設(shè)，因?yàn)?/span>，則，

則有，整理得，

由基本不等式得，故，整理，即．

由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．