Question

已知函數(shù)，其中，．

(Ⅰ)若的最小值為，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；

(Ⅱ)若函數(shù)的極小值大于零，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè)；(Ⅱ) 

【解析】

試題分析：（I）為確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可通過研究函數(shù)圖象的形態(tài)、函數(shù)的單調(diào)性完成，具體遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的單調(diào)性”等步驟.

(Ⅱ)為確定函數(shù)的極值，往往遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的極值”等步驟.

本小題利用“表解法”，形象直觀，易于理解.為使，滿足，從而得到.

試題解析：

（I），  1分

當(dāng)時(shí)，有最小值為，

所以，即，  2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804522458408041/SYS201403080452562402710377_DA.files/image012.png">，所以，  3分

所以，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，  4分

而，，  5分

故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè)；  6分

(Ⅱ)令，得，  7分

由知，根據(jù)（I），當(dāng)變化時(shí)，的符號(hào)及的變化情況如下表：

		0
	＋	0	－	0	＋
	↗	極大值	↘	極小值	↗

因此，函數(shù)在處取得極小值，  9分

要使，必有可得，  10分

所以的取值范圍是 ． 12分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).