已知雙曲線
(a>0,b>0)的離心率
,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離是
.
(Ⅰ)求雙曲線的方程及漸近線方程;
(Ⅱ)若直線y=kx+5 (k≠0)與雙曲線交于不同的兩點C、D,且兩點都在以A為圓心的同一個圓上,求k的值.
試題分析:本題主要考察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達定理等基礎(chǔ)知識,考察學(xué)生運算能力、綜合分析和解決問題的能力.(Ⅰ)離心率為
,∴
,∴
①,直線
的方程為
即
,利用點到直線的距離公式得到:
②,兩式聯(lián)立,可求出
,∴雙曲線方程為
,漸近線方程為:
;(Ⅱ)
兩點在以
為圓心的同一個圓上,
的中垂線過點
,將直線
與雙曲線
聯(lián)立,消去
,可得
,設(shè)
,中點為
,則
∴
,解得
=
,并檢驗是否滿足(
.
試題解析:(Ⅰ)直線
的方程為:
即
又原點
到直線
的距離
由
得
3分
所求雙曲線方程為
4分
(注:也可由面積法求得
)
漸近線方程為:
5分
(Ⅱ)方法1:由(1)可知
(0,-1),設(shè)
,由
得:
7分
∴3+3
+
=3+3
+
,
整理得:
=0,
∵
,∴
,∴
,
又由
-10
+25-3
=0 (
),
∴y+y
2=
, 10分
=7, 11分
由△=100-4(1-3
)(25-3
)>0
=7滿足此條件,
滿足題設(shè)的
=
. 12分
方法2:設(shè)
,中點為
,
由
, 7分
∵
,
的中垂線過點
9分
∵
∴
11分
整理得
解得
=
.(
滿足
12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線
(
,
)滿足
,且雙曲線的右焦點與拋物線
的焦點重合,則該雙曲線的方程為______________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)F
1、F
2為雙曲線
的兩個焦點,點P在雙曲線上滿足∠F
1PF
2=90°,那么△F
1PF
2的面積是( )
A.1 | B. | C.2 | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線
的一條漸近線與直線2x+y+1=0垂直,則這雙曲線的離心率為 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線
的右焦點為
,過
的直線
交雙曲線的漸近線于
,
兩點,且與其中一條漸近線垂直,若
,則該雙曲線的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
一動圓與圓O:x
2+y
2=1外切,與圓C:x
2+y
2-6x+8=0內(nèi)切,那么動圓的圓心的軌跡是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
雙曲線
的頂點和焦點到其漸近線距離的比是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
雙曲線
的離心率為
, 則m等于
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線
的漸近線方程是
,那么此雙曲線的離心率為
.
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