Question

已知關(guān)于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得上述不等式的解集A中只有有限個(gè)整數(shù)？若存在，求出使得A中整數(shù)個(gè)數(shù)最少的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)原不等式的解集為A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四種情況考慮，當(dāng)k等于0時(shí)，代入不等式得到關(guān)于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即為原不等式的解集；當(dāng)k大于0且k不等于2時(shí)，不等式兩邊除以k把不等式變形后，根據(jù)基本不等式判斷k+

2

k

與4的大小即可得到原不等式的解集；當(dāng)k等于2時(shí)，代入不等式，根據(jù)完全平方式大于0，得到x不等于4，進(jìn)而得到原不等式的解集；當(dāng)k小于0時(shí)，不等式兩邊都除以k把不等式變形后，根據(jù)k+

2

k

小于4，得到原不等式的解集，綜上，得到原不等式的解集；
（2）根據(jù)（1）中求出的不等式的解集A，得到當(dāng)k小于0時(shí)，A中的整數(shù)解個(gè)數(shù)有限個(gè)，利用基本不等式求出k+

2

k

的最大值，進(jìn)而求出此時(shí)k的值．

解答：解：（1）設(shè)原不等式的解集為A，
當(dāng)k=0時(shí)，A=（-∞，4）；（2分）
當(dāng)k＞0且k≠2時(shí)，原不等式化為[x-（k+

4

k

）]（x+4）＞0，
∵k+

4

k

＞4，（4分）
∴A=(-∞，4)∪(k+

4

k

，+∞)；（5分）
當(dāng)k=2時(shí)，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；（不單獨(dú)分析k=2時(shí)的情況不扣分）
當(dāng)k＜0時(shí)，原不等式化為[x-（k+

4

k

）]（x-4）＜0，
∴A=(k+

4

k

，4)；（7分）
（2）由（1）知：當(dāng)k≥0時(shí)，A中整數(shù)的個(gè)數(shù)為無限個(gè)；（9分）
當(dāng)k＜0時(shí)，A中整數(shù)的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，（11分）
因?yàn)?span id="3mvd7lu" class="MathJye">k+

4

k

≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時(shí)取等號(hào)，（12分）
所以當(dāng)k=-2時(shí)，A中整數(shù)的個(gè)數(shù)最少．（14分）

點(diǎn)評：此題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．