Question

極坐標(biāo)系中，圓C方程ρ=2

3

cosθ-2sinθ，A（

3

，2π），以極點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．
（Ⅰ）求圓C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P為圓C上的任意一點(diǎn)，圓心C為線段AB中點(diǎn)，求|PA|•|PB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得到圓的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）先分別求出A，B的直角坐標(biāo)，然后利用余弦定理表示出PA與PB，最后根據(jù)三角函數(shù)的有界性可求出|PA|•|PB|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=2

3

cosθ-2sinθ，
∴ρ²=2

3

ρcosθ-2ρsinθ則x²+y²=2

3

x-2y，
即圓C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-

3

）²+（y+1）²=4；
（Ⅱ）A（

3

，2π）的直角坐標(biāo)為（

3

，0），圓C的圓心坐標(biāo)為（

3

，-1），
∵圓心C為線段AB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

，-2），AC=BC=1，
設(shè)∠ACP=θ，而PC=2，則PA=

AC2+PC2-2AC×PC×cosθ

=

5-4cosθ

，
同理PB=

5+4cosθ

，
∴|PA|•|PB|=

5-4cosθ

•

5+4cosθ

=

25-16cos2θ

≤5，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=0時(shí)取等號(hào)，
∴|PA|•|PB|的最大值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，以及最值的研究，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力和分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．