已知橢圓+y2=1的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線l上，且BC∥x軸.求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點.

答案：
解析：

證明：證法一：依題設(shè)得橢圓的半焦距c=1，右焦點為F（1，0），右準(zhǔn)線方程為x=2，點E的坐標(biāo)為（2，0），EF的中點為N（，0）.

若AB垂直于x軸，則A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1），

∴AC中點為N（，0），即AC過EF中點N.

若AB不垂直于x軸，由直線AB過點F，且由BC∥x軸知點B不在x軸上，故直線AB的方程為y=k（x－1），k≠0.

記A（x1，y1）和B（x2，y2），則（2，y2）且x1，x2滿足二次方程+k2（x－1）2=1，

即（1+2k2）x2－4k2x+2（k2－1）=0

∴.

又x12=2－2y12＜2，得x1－≠0，故直線AN、CN的斜率分別為

.

∴k1－k2=2k·

∵（x1－1）－（x2－1）（2x1－3）=3（x1+x2）－2x1x2－4

=［12k2－4（k2－1）－4（1+2k2）］=0，

∴k1－k2=0，即k1=k2.

故A、C、N三點共線.

所以，直線AC經(jīng)過線段EF的中點N.

證法二：如圖，記直線AC與x軸的交點為點N，過點A作AD⊥l，

點D是垂足，因為點F是橢圓的右焦點，直線l是右準(zhǔn)線，

BC∥x軸，即BC⊥l，根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)，得

=e（e是橢圓的離心率）.

∵AD∥FE∥BC，

∴，

即.

∴N為EF的中點，即直線AC經(jīng)過線段EF的中點N.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知橢圓數(shù)學(xué)公式+y2=1的左、右焦點為F1、F2，上頂點為A，直線AF1交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF1F2⊥平面BF1F2．點O為坐標(biāo)原點．
（ I ） 求三棱錐A-F1F2B的體積；
（Ⅱ）圖2中線段BF2上是否存在點M，使得AM⊥OB，若存在，請在圖1中指出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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（2）設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍.

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21.已知橢圓+y2=1的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線l上，且BC∥x軸.求證直線AC經(jīng)過線段EF的中點.

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已知橢圓+y2=1的左、右焦點為F1、F2，上頂點為A，直線AF1交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF1F2⊥平面BF1F2．點O為坐標(biāo)原點．
（ I ） 求三棱錐A-F1F2B的體積；
（Ⅱ）圖2中線段BF2上是否存在點M，使得AM⊥OB，若存在，請在圖1中指出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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