已知曲線C上的動點P(x,y)滿足到點F(0,1)的距離比到直線l:y=-2的距離小1.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)動點E在直線l上,過點E分別作曲線C的切線EA,EB,切點為A、B.
(。┣笞C:直線AB恒過一定點,并求出該定點的坐標;
(ⅱ)在直線l上是否存在一點E,使得△ABM為等邊三角形(M點也在直線l上)?若存在,求出點E坐標,若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)由題設知曲線C的方程x
2=4y.
(Ⅱ)(。┰OE(a,-2),
A(x1,),B(x2,),由題設知x
12-2ax
1-8=0.同理可得:x
22-2ax
2-8=0所以x
1+x
2=2a,x
1•x
2=-8,可得AB中點為
(a,),由此可知直線AB恒過一定點,并能求出該定點的坐標.
(ⅱ)由(。┲狝B中點
N(a,),直線AB的方程為
y=x+2,當a≠0時,AB的中垂線與直線y=-2的交點
M(,-2).若△ABM為等邊三角形,則
|MN|=|AB|,∴
(a2+8)2(a2+4)=(a2+4)(a2+8),解得a=±2,此時E(±2,-2),故滿足條件的點E存在,坐標為E(±2,-2).
解答:解:(Ⅰ)曲線C的方程x
2=4y(5分)
(Ⅱ)(。┰OE(a,-2),
A(x1,),B(x2,),
∵
y=∴y′=x過點A的拋物線切線方程為
y-=x1(x-x1),
∵切線過E點,∴
-2-=x1(a-x1),整理得:x
12-2ax
1-8=0
同理可得:x
22-2ax
2-8=0,∴x
1,x
2是方程x
2-2ax-8=0的兩根,∴x
1+x
2=2a,x
1•x
2=-8可得AB中點為
(a,)又
kAB====,
∴直線AB的方程為
y-(+2)=(x-a)即
y=x+2,∴AB過定點(0,2)(10分)
(ⅱ)由(ⅰ)知AB中點
N(a,),直線AB的方程為
y=x+2當a≠0時,則AB的中垂線方程為
y-=-(x-a),
∴AB的中垂線與直線y=-2的交點
M(,-2)∴
|MN|2=(-a)2+(-2-)2=(a2+8)2(a2+4)∵
|AB|==若△ABM為等邊三角形,則
|MN|=|AB|,
∴
(a2+8)2(a2+4)=(a2+4)(a2+8),
解得a
2=4,∴a=±2,此時E(±2,-2),
當a=0時,經檢驗不存在滿足條件的點E
綜上可得:滿足條件的點E存在,坐標為E(±2,-2).(15分)
點評:本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題,解題時要注意公式的靈活運用,注意計算能力的培養(yǎng).