Question

選修4-4：參考方程與極坐標
分別在下列兩種情況下，把參數方程

x= 1 2 (et+e-t)cosθ y= 1 2 (et-e-t)sinθ

化為普通方程：
（1）θ為參數，t為常數；
（2）t為參數，θ為常數．

Answer 1

分析：（1）θ為參數，t為常數時，考慮用sin²θ+cos²θ=1，消去θ．
（2）t為參數，θ為常數時，可考慮根據e^t•e^-t=1，消去t．

解答：解：（1）當t=0時，y=0，x=cosθ，即|x|≤1，且y=0；…（2分）
當t≠0時，cosθ=

x

1 2 (et+e-t)

，sinθ=

y

1 2 (et-e-t)

…（4分）
而cos²θ+sin²θ=1，即

x2

1 4 (et+e-t)2

+

y2

1 4 (et-e-t)2

=1…（5分）
（2）當θ=kπ，k∈Z時，y=0，x=±

1

2

(et+e-t)，即|x|≥1，且y=0…（6分）；
當θ=kπ+

π

2

，k∈Z時，x=0，y=±

1

2

(et-e-t)，即x=0；…（7分）
當θ≠

kπ

2

，k∈Z時，得

et+e-t= 2x cosθ et-e-t= 2y sinθ

，即

2et= 2x cosθ + 2y sinθ 2e-t= 2x cosθ - 2y sinθ

…（9分）
得2et•2e-t=(

2x

cosθ

+

2y

sinθ

)(

2x

cosθ

-

2y

sinθ

)，即

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1．…（10分）

點評：本題考查參數方程轉化成普通方程，關鍵在于正確的消參．考查計算、分類討論的意識和能力．