Question

【題目】從偶函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于軸對稱.

Answer 1

【答案】證明見詳解.

【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)的定義，從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行推導(dǎo)即可.

不妨設(shè)的定義域?yàn)?/span>，

先證，若函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱.

因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，即對任意的恒成立，

任取上的一點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，

故點(diǎn)均在的圖象上，

又該兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且具有任意性，

即對函數(shù)上的任意一點(diǎn)，其關(guān)于軸對稱的點(diǎn)也一定在上，

即的圖象關(guān)于軸對稱，即證；

再證：若的圖象關(guān)于軸對稱，則是偶函數(shù).

因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于軸對稱，

故對圖象上的任意一點(diǎn)，其關(guān)于軸的對稱點(diǎn)一定也在上.

故點(diǎn)滿足的解析式，也即，

又因?yàn)?/span>具有任意性，故對任意的恒成立.

也即是偶函數(shù).即證.

綜上所述：函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于軸對稱.