【題目】定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．

（1）若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

（2）寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】(1)相似;相似比為;(2);.

【解析】

(1)分別求出兩個橢圓的特征三角形的腰長和底邊長2,進(jìn)而求出兩個橢圓的相似比;

(2)由題意易得與橢圓與橢圓的相似比為1:,進(jìn)而可求得橢圓得長半軸長,即可得橢圓的方程為;設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線方程和橢圓的方程消元化簡，借助于與的交點關(guān)于對稱和根的判別式大于零,可求得的取值范圍.

(1)由題意知:橢圓的特征三角形是腰長為=2,底邊長2=2的等腰三角形; 橢圓的特征三角形是腰長為=4,底邊長2=4的等腰三角形,則由,得兩個三角形相似,所以可得橢圓與橢圓相似,且相似比為;

(2)由橢圓和橢圓相似,且短半軸長分別為1和,可得相似比為1:,則可得橢圓的長半軸長為2,所以橢圓的方程為:;

由題意設(shè)直線為,點M,N,中點坐標(biāo)為(),

聯(lián)立消元化簡得:

∴∴,, ∴中點坐標(biāo)為(,)

由中點在直線上,可得=+1,解得=,

由直線與橢圓有兩個不同的交點得,

代入=解得.

故實數(shù)的取值范圍為

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A. ， ， 依次成公比為2的等比數(shù)列，且

B. ， ， 依次成公比為2的等比數(shù)列，且

C. ， ， 依次成公比為的等比數(shù)列，且

D. ， ， 依次成公比為的等比數(shù)列，且

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【題目】某單位為促進(jìn)職工業(yè)務(wù)技能提升，對該單位120名職工進(jìn)行一次業(yè)務(wù)技能測試，測試項目共5項.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了10名職工的測試結(jié)果，將它們編號后得到它們的統(tǒng)計結(jié)果如下表（表1）所示（“√”表示測試合格，“×”表示測試不合格）.

表1：

編號\測試項目

1

2

3

4

5

1

×

√

√

√

√

2

√

√

√

√

×

3

√

√

√

√

×

4

√

√

√

×

×

5

√

√

√

√

√

6

√

×

×

√

×

7

×

√

√

√

×

8

√

×

×

×

×

9

√

√

×

×

×

10

√

√

√

√

×

規(guī)定：每項測試合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的這10名職工合格項的項數(shù)的頻率代替每名職工合格項的項數(shù)的概率.

①設(shè)抽取的這10名職工中，每名職工測試合格的項數(shù)為，根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計表，列出的分布列，并估計這120名職工的平均得分；

②假設(shè)各名職工的各項測試結(jié)果相互獨立，某科室有5名職工，求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率；

（2）已知在測試中，測試難度的計算公式為，其中為第項測試難度，為第項合格的人數(shù)，為參加測試的總?cè)藬?shù).已知抽取的這10名職工每項測試合格人數(shù)及相應(yīng)的實測難度如下表（表2）：

表2：

測試項目

1

2

3

4

5

實測合格人數(shù)

8

8

7

7

2

定義統(tǒng)計量，其中為第項的實測難度，為第項的預(yù)測難度（）.規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)測合理，否則為不合理，測試前，預(yù)估了每個預(yù)測項目的難度，如下表（表3）所示：

表3：

測試項目

1

2

3

4

5

預(yù)測前預(yù)估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.

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（2）若，求證：.

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A. 若，則乙有必贏的策略B. 若，則甲有必贏的策略

C. 若，則甲有必贏的策略D. 若，則乙有必贏的策略

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A. 月接待游客逐月增加

B. 年接待游客量逐年減少

C. 各年的月接待游客量高峰期大致在月

D. 各年月至月的月接待游客量相對于月至月，波動性較小，變化比較穩(wěn)定

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維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

記x表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，y表示1臺機(jī)器在維修上所需的費用（單位：元），表示購機(jī)的同時購買的維修服務(wù)次數(shù).

（1）若=10，求y與x的函數(shù)解析式；

（2）若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8，求n的最小值；

（3）假設(shè)這100臺機(jī)器在購機(jī)的同時每臺都購買10次維修服務(wù)，或每臺都購買11次維修服務(wù)，分別計算這100臺機(jī)器在維修上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)？

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