Question

已知：函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)函數(shù)f（x）=．
（1）求a、b的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）如果關(guān)于x的方程f（|2^x-1|）+t•（-3）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），可知函數(shù)在區(qū)間[2，3]上是單調(diào)函數(shù)，故可建立方程組，從而可求a、b的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用分離參數(shù)法，求出函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)f（|2^x-1|）+t•（-3）=0，可得|2^x-1|++-3t-2=0，利用換元法u=|2^x-1|＞0，轉(zhuǎn)化為u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，當(dāng)0＜u₁＜1＜u₂時(shí)，原方程有三個(gè)相異實(shí)根，故可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解答：解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，由題意得：
①得
②得（舍去）
∴a=1，b=0…（4分）
∴g（x）=x²-2x+1，…（5分）
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0，即k…（9分）
設(shè)，∴，∴k≤（t-1）²
∵（t-1）²_min=0，∴k≤0…（11分）
（3）f（|2^x-1|）+t•（-3）=0，即|2^x-1|++-3t-2=0．
令u=|2^x-1|＞0，則 u²-（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）
記方程①的根為u₁，u₂，當(dāng)0＜u₁＜1＜u₂時(shí)，原方程有三個(gè)相異實(shí)根，
記φ（u）=u²-（3t+2）u+（4t+1），由題可知，
或．…（16分）
∴時(shí)滿足題設(shè)．…（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法求解恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．