Question

已知橢圓E的方程為+=1（a＞b＞0）雙曲線-=1的兩條漸近線為l₁和l₂，過橢圓E的右焦點F作直線l，使得l⊥l₂于點C，又l與l₁交于點P，l與橢圓E的兩個交點從上到下依次為A，B（如圖）．
（1）當直線l₁的傾斜角為30°，雙曲線的焦距為8時，求橢圓的方程；
（2）設，證明：λ₁+λ₂為常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線l₁的傾斜角為30°，所以，因為雙曲線的焦距為8，所以c=4再根據(jù)a，b，c關系，可得橢圓方程．
（2）由l⊥l₂于點C，以及l(fā)₁和l₂方程可得出l方程，再與l₁方程聯(lián)立，求出P點坐標．再設出A，B坐標，由，計算出λ₁+λ₂，的值即可．
解答：解：（1）由已知，，a²+b²=16．
解得：a²=12，b²=4
所以橢圓E的方程是
（2）解法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由題意得：直線l₁的方程為：y=x，直線l₂的方程為：y=-x
則直線l的方程為：y=（x-c），其中點F的坐標為（c，0）；


由得：，則點

由消y得：2x²-2cx+（c²-a²）=0，則x₁+x₂=c   x₁x₂=；
由得：，則：，
同理由得：．
λ₁+λ₂=+==
=0
故λ₁+λ₂=0為常數(shù)．
解法2：過p作X軸的垂線M，過A，B分別作m的垂線，垂足分別為A₁，B₁
由題意得：直線l₁的方程為：，直線l₂的方程為：
則直線l的方程為：，其中點F的坐標為（c，0）
由得：，則直線m為橢圓E的右準線
則：=，=，其中e的離心率
λ₁=，λ₂=-，=，故λ₁+λ₂=0
∴λ₁+λ₂為常數(shù)
點評：本題考查了橢圓，雙曲線與直線的位置關系，計算量較大，須認真解答．