Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的值域；

(2)試問：函數(shù)的圖象上是否存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn),若存在,求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由；

(3)若方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根、、滿足：＜＜,且,求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在,分別是,；(3)．

【解析】

(1)分別求出函數(shù)在每段上的值域,最后求出整個(gè)函數(shù)的值域即可.

(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn),不妨設(shè),可求它的關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo),再代入函數(shù)解析式中,能求出說明存在性,求不出則說明不存在這樣的點(diǎn)；

(3)判斷之間的大小關(guān)系,然后分類化簡(jiǎn)方程,求出三個(gè)實(shí)數(shù)根、、,再根據(jù),求出實(shí)數(shù)a的值.

(1)當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí), ,因此函數(shù)的值域?yàn)?/span>；

(2) 假設(shè)存在這樣的點(diǎn),不妨設(shè),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為：

,由題意可知它也在函數(shù)圖象上,因此有

(舍去),

因此存在這樣兩個(gè)點(diǎn),坐標(biāo)分別為和；

(3)由(1)可知：當(dāng)時(shí), ,顯然此時(shí), ,

當(dāng)時(shí),若時(shí),解得,若時(shí),解得

.

因此當(dāng)時(shí), ,此時(shí)方程化簡(jiǎn)為：

解得,因此有.

當(dāng)時(shí), ,此時(shí)方程化簡(jiǎn)為：,解得

,要想方程有三個(gè)不同的根,則必有,此時(shí)

成立,因此有,

又因?yàn)?/span>,

所以,解得(舍去), .

,因此.